Bloga rytm naturalny...

Twierdzenie Arrowa oraz paradoks Condorceta spełniają bardzo istotną rolę w teorii demokracji. Są one próbą matematycznego udowodnienia, że demokracja nie może działać dobrze. Zastanówmy się, czy tak jest w istocie.

Zacznijmy od twierdzenia Arrowa. W jego dowodzie, nieprzytoczonym na polskiej wikipedii, jest jasno pokazane, że wszystkie systemy spełniające założenia z wyjątkiem założenia o braku dyktatury muszą być dyktaturami. Prawdę mówiąc nie dziwi mnie to, że dyktatura spełnia założenia "dyktatorskiego twierdzenia Arrowa" (głównego twierdzenia z pominięciem założenia braku dyktatury), już choćby dlatego, że teza tego twierdzenia jest implikacją, po której lewej stronie mamy koniunkcję dwóch warunków - a jednym z nich jest co najmniej dwóch głosujących. Z fałszu zaś wynika wszystko.

Odrzucając ten zarzut można zauważyć jeszcze jedno: system, który spełnia założenia "dyktatorskiego twierdzenia Arrowa" nie musi być dyktaturą sensu stricte. Wystarczy znaleźć dowolną funkcję deterministyczną inną niż funkcja stała, która kwestii poddanej pod głosowanie przyporządkuje dokładnie jednego głosującego i rozstrzygnąć tę kwestię zgodnie z jego preferencją. Mamy dyktatury różnych głosujących w zależności od tego, nad czym głosujemy. Ważne tylko, żeby przyporządkowanie było funkcją deterministyczną - unikniemy wtedy zarzutu pogwałcenia założenia o uniwersalności.

Odrębną zaś zupełnie sprawą jest, czy wszystkie założenia twierdzenia Arrowa co do systemu głosowania są sensowne, ale o tym za chwilę. Teraz o paradoksie.

Na podanym w wikipedii przykładzie widać, że głosowanie jest niekonkluzywne nie tylko dlatego, że relacja preferencji w grupie wyborców jest cykliczna. Zauważmy: gdyby wyborcy się nie porozumieli, głosowanie nadal byłoby niekonkluzywne. Nie jest to wina systemu, tylko preferencji wyborców - dość złośliwie zresztą dobranych. Zauważmy co innego: gdyby wprowadzić dyktaturę między tych trzech wyborców i dyktatorem byłby wyborca numer 1, to wybrawszy rozwiązanie A przysporzyłby sobie dwóch przeciwników, którzy mając taką przewagę mogliby po prostu go nie posłuchać. Faktem niezaprzeczalnym pozostaje natomiast, że gdy mamy dwóch lub więcej głosujących, zawsze może zdarzyć się "klincz" polegający na tym, że dwa lub więcej rozwiązań mają maksimum głosów i remisują ze sobą. Trzeba to jakoś rozwiązywać, najprostsze wydaje mi się przyjęcie zasady, że w momencie klinczu nie wprowadzamy żadnej zmiany.

Teraz o samej demokracji. Ideą jej nie jest głosowanie taktyczne, tylko głosowanie na swój optymalny wybór. Gdyby wzięty z paradoksu Condorceta wyborca 1 zagłosował na B mając preferencje A B C, to powinien zostać pozbawiony prawa głosu za głosowanie taktyczne. Powinien głosować na A. To jest oczywiście nie do wyegzekwowania, dlatego nie upieram się, że cokolwiek dalej należy w tym kierunku przedsiębrać. Należy co najwyżej uznać, że mając demokrację promujemy głosowanie nietaktyczne. Co więcej: z reguły podejmujemy decyzję, co wybrać z iluś rozwiązań, a nie jak je uszeregować. Co za różnica, kto zajmie trzecie miejsce w wyścigu o prezydenturę? Wracając do twierdzenia Arrowa: przy takim postawieniu sprawy założenie o niezależności nieistotnych alternatyw przestaje mieć sens (mając spójny system preferencji nie da się nawet pomijając to założenie wysforować na pierwsze miejsce jakiegokolwiek wyboru z wyjątkiem faktycznego faworyta). Po odrzuceniu tego założenia istnieją już systemy, które pozwalają na wybór optimum (na przykład system Condorceta tegoż samego, którego niestety na polskiej wikipedii nie ma).