Bloga rytm naturalny...

Niestety, choruję - a jak choruję, to dość często nie czuję się na siłach zaprzęgać do pracy intelektu, co jest konieczne podczas dyskusji z Komentatorami. Ten brak intelektualnej pary działa jednak wybiórczo i wczoraj, gdzieś tak między 38 a 39 stopniem Celsjusza, przyszła mi do głowy pewna hipoteza matematyczna. Niematematyków uprzedzam: jest to raczej dość trudne. Do matematyków mam natomiast pytania: czy ktoś to kiedyś przede mną sformułował? Czy ma ktoś pomysł na dowód lub kontrprzykład?

Hipoteza brzmi: Każdą liczbę naturalną większą lub równą 1 można przedstawić jako sumę:

p(1)^n(1) + p(2)^n(2) + ... + p(k)^n(k)

Gdzie ^ to oczywiście znak potęgowania, p(1)...p(k) to wzajemnie różne liczby pierwsze, zaś n(1)...n(k) to również wzajemnie różne liczby całkowite nieujemne.

Ów wymóg wzajemnej różności powoduje problemy ze znajdowaniem rozkładu niektórych liczb (najczęściej dość trudno się znajduje całkowitą wielokrotność co najmniej drugiej potęgi liczby pierwszej, o ile oczywiście nie jest to wyższa potęga tejże liczby pierwszej), niemniej kontrprzykładu nie znalazłem.

Stawiam również hipotezę mocniejszą: Istnieje takie M, że dla każdej liczby naturalnej istnieje jej rozkład do postaci przedstawionej powyżej mający co najwyżej M składników.

Pole do popisu dla matematyków, zwłaszcza świeżych. Ja już mocno zardzewiałem.